Через вершину А прямоугольника АВСD проведена наклонная АМ к плоскости прямоугольника, составляющая углы Альфа со сторонами АD и АВ. Найдите синус угла между этой наклонной и данной плоскостью.

Пусть МО⊥(АВС).Проведем ОН⊥AD и ОК⊥АВ.ОН и ОК- проекции наклонных МН и МК на плоскость прямоугольника, тогда и МН⊥AD, МК⊥АВ по теореме о трех перпендикулярах.∠МАО = φ - угол между наклонной АМ и плоскостью прямоугольника,∠МАН = ∠МАК = α - угол между наклонной АМ и сторонами AD и АВ прямоугольника.ΔМАН = ΔМАК по гипотенузе и острому углу (АМ общая, ∠МАН = ∠МАК = α), значит АК = АН, и значит АКОН - квадрат и АО - его диагональ, а следовательно и биссектриса угла BAD.Стоит запомнить, что наклонная, проведенная через вершину угла, лежащего в плоскости, и образующая равные углы с его сторонами, проецируется на биссектрису этого угла.Пусть а -  сторона квадрата АКОН.Тогда АО = а√2, как диагональ квадрата.ΔАМН: АМ = AН /  cosα = a / cos αΔAMO: cos φ = АO / AM =  a√2 / (a / cos α) = √2cos αsin φ  = √(1 - cos²φ) = √(1 - 2cos²α) = √(- cos2α)