разность куба и квадрата натурального числа N может оканчиватся на 2 ?

А на 1

так мы же все варианты перебрали! Получилось что может оканчиваться на 0; 4 и 8. Больше ни на что.

Не может.

N^3-N^2=N^2(N-1)

Дальше можно просто перебрать варианты окончания чисел:

1)если N заканч. 0, то N^2 тоже 0, и N^2(N-1) тоже оканч.0

2) N заканч.1, N^2 тоже 1, (N-1) оканч.0, произвед. тоже заканч. 0

3) N заканч.2, N^2   -  4, (N-1) оканч.1, произвед. 4

4) N заканч.3, N^2   -  9, (N-1) оканч.2, произвед. 8

5) N заканч.4, N^2   -  6, (N-1) оканч.3, произвед. 8

6) N заканч.5, N^2   -  5, (N-1) оканч.4, произвед. 0

7) N заканч.6, N^2   -  6, (N-1) оканч.5, произвед. 0

8) N заканч.7, N^2   -  9, (N-1) оканч.6, произвед. 4

9) N заканч.8, N^2   -  4, (N-1) оканч.7, произвед. 8

10) N заканч.9, N^2   -  1, (N-1) оканч.8, произвед. 8