Квадрат целого числа имеет вид ...09 (оканчивается цифрами 0 и 9). Докажите, что третья справа цифра – четная.

Квадрат нашего числа можно записать в виде N² = 100k+9, где k - натуральное. Нам нужно доказать, что последняя цифра в числе k - четная, то есть k - четное число. ПреобразуемN^2 = 100k+9\\ 100k = (N-3)(N+3)Числа N-3 и N+3 имеют одинаковые остатки при делении на 6. Рассматривая возможные остатки от деления на 6 (0...5) и пользуясь тем, что произведение (N-3)(N+3) будет иметь тот же остаток, что и квадрат остатка сомножителей, мы получим возможные вариантыОстаток --- остаток квадрата остатка0 --- 01 --- 12 --- 43 --- 34 --- 45 --- 1Число 100k может давать следующие остатки при делении на 6.k --- Остаток1 --- 42 --- 23 --- 04 --- 45 --- 26 --- 0и так далееСопоставляя две таблицы, мы понимаем, что k = 1, 4, 7..., то есть k=3m+1, где m - натуральное (100*0+9 = 109 - не квадрат). Нам осталось доказать, что m не может быть четным.Итакk = 1+3m\\ N^2 = 300m+100+9 = 300m+109 Число N^2 может иметь следующие остатки при делении на 80, 1, 4, 1, 0, 1, 4, 1 и так далееЧисло 109 дает 5 в остатке при делении на 8, число 300 - дает 4Значит остатки от деления 300m+109 на 8 будут такие (m = 1, 2, 3...)1, 5, 1, 5, 1 и так далееОстаток 5 невозможен (см остатки N^2 при делении на 8), значит отсюда мы понимаем, что m обязано быть нечетным (тогда остаток будет 1).Значит m - нечетно, 3m+1 = k - четно, и третья справа цифра тоже четна.