Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • "Теоремы о пределах", высшая математика. Помогите решить пределы, пожалуйста

    question img

Ответы 1

  • 1)\,\,\, \lim_{x \to 3} \bigg(5-4x+x^2\bigg)=5-4\cdot 3+3^2=5-12+9=\boxed{2}2) \lim_{x \to 5} \dfrac{x^2-25}{x-5} =\lim_{x \to 5} \dfrac{(x-5)(x+5)}{x-5} =\lim_{x \to 5} \bigg(x+5\bigg)=\boxed{10}3) Разложим числитель и знаменатель на множители:3x^2+x-2=0Вычислим дискриминантD=b^2-4ac=1^2-4\cdot3\cdot(-2)=25D\ \textgreater \ 0, значит квадратное уравнение имеет 2 корня:x_1= \dfrac{-b+ \sqrt{D} }{2a} = \dfrac{-1+5}{6} = \dfrac{2}{3} ;\\ \\ x_2= \dfrac{-b- \sqrt{D} }{2a} = \dfrac{-1-5}{6} =-1Разложение: 3x^2+x-2=3(x+1)(x- \frac{2}{3} )=(x+1)(3x-2)4x^2+x-3=0Вычислим дискриминант квадратного уравнения:D=b^2-4ac=1^2-4\cdot4\cdot(-3)=49Найдем корни квадратного уравнения по формулам:x_1= \dfrac{-b+ \sqrt{D} }{2a} = \dfrac{-1+7}{8} = \dfrac{3}{4} ;\\ \\ x_2= \dfrac{-b- \sqrt{D} }{2a} = \dfrac{-1-7}{8} =-1Разложение: 4x^2+x-3=4(x+1)(x- \frac{3}{4} )=(x+1)(4x-3)Вычислим предел теперь: \lim_{x \to -1} \dfrac{(x+1)(3x-2)}{(x+1)(4x-3)} = \lim_{x \to -1} \dfrac{3x-2}{4x-3} = \dfrac{3\cdot(-1)-2}{4\cdot(-1)-3}=\boxed{ \dfrac{5}{7} }4) домножим числитель и знаменатель на сопряженное: \lim_{x \to 0} \dfrac{2x\cdot( \sqrt{4+x} + \sqrt{4-x} )}{( \sqrt{4+x} )^2-( \sqrt{4-x} )^2} = \lim_{x \to 0} \dfrac{2x\cdot( \sqrt{4+x}+ \sqrt{4-x}) }{4+x-4+x} =\\ \\ \\ = \lim_{x \to 0} \dfrac{2x\cdot( \sqrt{4+x}+ \sqrt{4-x}) }{2x} = \lim_{x \to 0} ( \sqrt{4+x} + \sqrt{4-x} )=\boxed{4}5) Разделим числитель и знаменатель дроби на x^3 \lim_{x \to \infty} \dfrac{ \frac{4x^3}{x^3}+ \frac{2x^2}{x^3} - \frac{1}{x^3} }{ \frac{7}{x^3}- \frac{2x}{x^3} + \frac{3x^3}{x^3} } = \lim_{x \to \infty} \dfrac{4+ \frac{2}{x}- \frac{1}{x^3} }{3- \frac{2}{x^2}+ \frac{7}{x^3} } = \dfrac{4+0-0}{3-0+0} =\boxed{ \frac{4}{3} }6) \lim_{x \to 1} \dfrac{x^3-3x^2+4x-2}{x^3-2x^2+1} =\lim_{x \to 1} \dfrac{(x-1)(x^2-2x+2)}{(x-1)(x^2-x-1)} =\\ \\ \\ =\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2-2x+2}{x^2-x-1} = \dfrac{1^2-2\cdot1+2}{1^2-1-1} =\boxed{-1}7) Воспользуемся эквивалентностью функции: \sin x\,\, \sim \,\, x,\,\,\,\,\, x\to 0\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin^3 \frac{x}{5} }{x^3} =\lim_{x \to 0} \dfrac{( \frac{x}{5} )^3}{x^3} = \boxed{ \frac{1}{125} }8) Второй замечательный предел: \lim_{x \to \infty} \bigg(1+ \dfrac{1}{x} \bigg)=e\lim_{x \to \infty} \bigg(1+ \dfrac{7}{x} \bigg)^\big{2x}=\lim_{x \to \infty} \bigg(1+ \dfrac{7}{x} \bigg)^\big{2x\cdot \frac{7}{x} \cdot \frac{x}{7} }=\\ \\ \\ =e^\big{\lim_{x \to \infty} \frac{2x\cdot 7}{x} }=\boxed{e^{14}}9) Снова же второй замечательный предел:\lim_{x \to \infty} \bigg( \dfrac{x+1}{x-2}\bigg)^\big{ \frac{x}{3} } =\lim_{x \to \infty} \bigg( \dfrac{x-2+3}{x-2} \bigg)^\big{ \frac{x}{3} }=\lim_{x \to \infty} \bigg(1+ \dfrac{3}{x-2}\bigg)^\big{ \frac{x}{3} } ==\lim_{x \to \infty} \bigg(1+ \dfrac{3}{x-2} \bigg)^\big{ \frac{x}{3} \cdot \frac{3}{x-2} \cdot \frac{x-2}{3} }=e^\bigg{\lim_{x \to \infty} \frac{x}{x-2} }}=\boxed{e}

    • Автор:

      azkaban
    • 6 лет назад
    • 0

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years