В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 6, точка М – середина ребра BC, точка О – центр основания пирамиды, точка F делит отрезок SO в отношении 1:2, считая от вершины пирамиды.
a) Найдите отношение, в котором плоскость CMF делит отрезок SA, считая от вершины S.

Плоскость CMF в сечении даёт равнобедренный треугольник СРВ, в котором точка Р - это точка пересечения ребра SA.Проведём осевую секущую плоскость через это ребро.Получим треугольник ASM и в нём имеем отрезок МР, проходящий через точку F, и высоту SO - она же и высота пирамиды.Стороны равны: - AS = 6 (по заданию), - SM = AM = 6*cos30° =  6-(√3/2) = 3√3.При пересечении SO и PM образовался треугольник SPF, в который входит сторона SP как  часть ребра SA.Находим высоту пирамиды SО.Точка О делит АМ в отношении 2:1, то есть ОМ = (1/3)*(3√3) = √3, а АО = 2√3.Отсюда SO = √((3√3)²-(√3)²) = √(27-3) = √24 = 2√6.По заданию SF = (1/3)SO = 2√6/3, а OF = (2/3)*2√6 = 4√6/3.Можно найти углы:<SFP = <OFM. tg OFM = ОМ/OF = √3/(4√6/3) = 3√3/(4√6) = 3/(4√2) = 3√2/8.<SFP = arc tg(3√2/8) =  27,93835°.<PSF = arc tgAO/SO = arc tg(2√3/2√6) = arc tg(1/√2) =  35,26439°.<SPF = 180-<SFP-<PSF =  116,7973°.Зная отрезок SF, по теореме синусов находим длину SP:SP = (SF*sin(<PSF)/(sin(<SPF)) =  0,857142857.Отрезок АР = 6- 0,857143 =  5,142857.Отношение их равно: 0,857143 / 5.142857 =   0,166667 = 1/6.