Геометр поставил на окружности несколько точек. Затем он измерил все расстояния между этими точками. Получилось не более 30 различных чисел. Какое наибольшее количество точек он мог поставить?

Рассмотрим одну из отмеченных точек.На определённом расстоянии r от неё может быть не более двух точек, т.к. каждая такая точка лежит на двух окружностях: на исходной и на окружности с центром в выбранной точке и радиусом r, - а две окружности пересекаются не более чем в двух точках. Так как всего расстояний не более 30, то точек, не считая выбранной, не более 60, а всего не более 61. Если точки стоят в вершинах правильного 61-угольника, то расстояний 30, а больше точек не может быть по доказанному. Значит, наибольшее количество точек равно 61.