Сколько решений уравнения 10sinx+3cos(x+pi/6)=корень из 79 принадлежит промежутку

Ответы 1

Упростим левую часть уравнения: $10\sin x + 3\cos(x + \frac\pi6) = 10\sin x + 3\cos x\cos \frac\pi6 - 3\sin x\sin\frac\pi6 =\\=10\sin x+\frac{3\sqrt3}2\cos x-\frac32\sin x=\frac{17}2\sin x+\frac{3\sqrt3}2\cos x$ $\sqrt{(\frac{17}2)^2+(\frac{3\sqrt3}2)^2}=\frac{\sqrt{289+27}}2=\sqrt{79}$ Пусть угол $\varphi$ - такой, что $\sin \varphi=\frac{3\sqrt3}{2\sqrt{79}}$ , $\cos\varphi=\frac{17}{2\sqrt{79}}$ , тогда $\frac{17}2\sin x+\frac{3\sqrt3}2\cos x=\sqrt{79}(\sin x\cos\varphi+\cos x\sin\varphi)=\sqrt{79}\sin(x+\varphi)$ Окончательно уравнение превращается в такое: $\sqrt{79}\sin(x+\varphi)=\sqrt{79}\\ \sin(x+\varphi)=1$ У этого уравнения на любом полуоткрытом промежутке длины $2\pi$ есть ровно 1 корень.Так как $2017\pi-5\pi=2012\pi=1006\cdot2\pi$ , то у уравнения 1006 корней на заданном промежутке.
- Автор:
  zachariah7f3u
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ

Еще вопросы