При каких значениях р уравнения |х-4|=рх-2 имеет ровно два различных корня

Решение не доведено до конца. Да, р не равно (1/2) и (+-1), но оно равно значениям между (1/2) и +1.

Эту задачу легче объяснить графически.В уравнении левая часть - ломаная прямая к = +-1 (это коэффициент крутизны прямой к оси Ох = tg α), точка перелома х = 4 (она на оси Ох при этом у = 0).Правая часть уравнения - прямая, проходящая через точку у = -2 на оси Оу.Чтобы было 2 решения, эта прямая должна пересечь 2 ветви первой прямой.Это возможно при р (это коэффициент к перед х) больше 2/4 =1/2 и менее 1.При р < (1/2) прямая пройдёт ниже точки перелома первой прямой и вообще не будет пересечения.При р > 1 прямая будет проходить круче правой ветви первой прямой и будет только 1 пересечение.Ответ: (1/2) < p < 1.Для примера в приложении приводится график с р = 3/4.