• y"-y=x найти общее решение диф.ур-ия,допускающего понижение порядка

Ответы 1

  • Пусть y'=z, тогда y''=z'. Подставляя в исходное уравнение, получимz'-z=xТо есть, получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение.Применим метод БернуллиПусть z=uv, тогда z'=u'v+uv'. Подставимuv'+u'v-uv=x\\ u(-v+v')+u'v=xДанный метод состоит из двух этапов:1) Предполагаем, что u(v'-v)=0v'-v=0\\ v'=vЭто есть уравнение с разделяющимися переменными. Переходя к дифференциалам. \dfrac{dv}{dx} =v   \dfrac{dv}{v} =dx - уравнение с разделёнными переменными.Проинтегрируем обе части уравнения\displaystyle  \int\limits { \frac{dv}{v} } = \int\limits {} \, dx  \\ \ln|v|=x\\ v=e^{x}2) Поскольку, как мы предположили, что v' + v = 0, то получим уравнениеu'v=xЗная v, находим функцию u.u'e^x=x\\ u'=xe^{-x}Интегрируя по частям, получаемu=-xe^{-x}-e^{-x}+CНайдем решение дифференциального уравнения, выполнив обратную замену.z=uv=Ce^x-x-1Снова обратная заменаy'=Ce^{x}-x-1Интегрируя последнее уравнение, получаемy=C_1e^x- \frac{x^2}{2} -x+C_2 - общее решение.Ответ: y=C_1e^x- \frac{x^2}{2} -x+C_2
    • Автор:

      rollins
    • 5 лет назад
    • 0
  • Добавить свой ответ

Войти через Google

или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years