девять друзей пожали друг другу руки.Сколько всего было сделано рукопожатиий ?

Не правильно!!!

1 жмет      2 3 4 5 6 7 8 92 жмет      3 4 5 6 7 8 9      1 сам ему пожал руку3 жмет      4 5 6 7 8 9         1 и 2 уже пожали4 жмет      5 6 7 8 9              1 2 3 жали5 жмет      6 7 8 9                    1-4 жали6 жмет      7 8 9                      1-5 жали7 жмет      8 9                        1-6 жали8 жмет      9                            1-7 жали9 никому не жмет ему уже пожали всевсе это можно решить легче:пусть х + n - кол-во пожатий каждого друга , с каждым разом х+n уменьшается на 1. т.к. этому  человеку уже жали руку. составим уравнение:х+8 + х+7 + х+6 + х+5 + х+4 + х+3 + х+2 + х+1 = х + 36х - число нуль