Помогите решить, пожалуйста)) Найти указанные пределы используя правило Лопиталя

Помогите решить, пожалуйста))
Найти указанные пределы используя правило Лопиталя
- Предмет:
  Математика
- Автор:
  griffin
- 5 лет назад

Ответы 1

Правило Лопиталя: предел дроби равен пределу отношения производных числителя и знаменателя.lim f(x) / g(x) = lim f'(x) / g'(x)2.13 $\lim_{x \to 0} \frac{a^x-1}{c^x-1}= \lim_{x \to 0} \frac{a^x*ln(a)}{c^x*ln(c)} = \frac{a^0*ln(a)}{c^0*ln(c)} = \frac{ln(a)}{ln(c)}$ 3.13 $\lim_{x \to 0} \frac{3tg(4x)-12tg(x)}{3sin(4x)-12sin(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{12/cos^2(4x)-12/cos^2(x)}{12cos(4x)-12cos(x)} =$ $= \lim_{x \to 0} \frac{12}{cos^2(4x)*cos^2(x)}* \frac{cos^2(x)-cos^2(4x)}{cos(4x)-cos(x)} =$ $=- \frac{12}{cos^2(0)*cos^2(0)}* \lim_{x \to 0} \frac{(cos(4x)-cos(x))(cos(4x)+cos(x))}{cos(4x)-cos(x)} =$ $=-12\lim_{x \to 0} (cos(4x)+cos(x))=-12(cos(0)+cos(0))=-24$ 4.13. $\lim_{x \to 0} (1+x^2)^{1/x}= \lim_{x \to 0} exp(ln((1+x^2)^{1/x}))$ Здесь exp(z) - это функция e^z. Я ее написал, чтобы не мельчить в трехэтажных показателях степеней. Делаем дальше. $\lim_{x \to 0} e^{1/x*ln(1+x^2)}=e^{\lim_{x \to 0} \frac{ln(1+x^2)}{x} }$ Теперь вычислим отдельно предел в показателе по Лопиталю. $\lim_{x \to 0} \frac{ln(1+x^2)}{x} =\lim_{x \to 0} \frac{2x}{(1+x^2)*1} = \frac{2*0}{1+0}=0$ Результат e^0 = 15.13. $\lim_{x \to pi/2} (tg(x))^{2x-pi}= \lim_{x \to pi/2} exp(ln(tg(x))^{2x-pi})=$ $=\lim_{x \to pi/2} e^{(2x-pi)ln(tg(x))}=e^\lim_{x \to pi/2} (2x-pi)ln(tg(x))$ Как и в 4.13, найдем отдельно предел в показателе. $\lim_{x \to pi/2} \frac{ln(tg(x))}{1/(2x-pi)}=\lim_{x \to pi/2} \frac{1}{tg(x)}* \frac{1}{cos^2(x)}: \frac{-2}{(2x-pi)^2} =$ $\lim_{x \to pi/2}-\frac{cos(x)}{sin(x)*cos^2(x)}* \frac{(2x-pi)^2}{2} =-\lim_{x \to pi/2}\frac{(2x-pi)^2}{sin(2x)}=$ $=-\lim_{x \to pi/2}\frac{2(2x-pi)*2}{2cos(2x)}= -\frac{2(2*pi/2-pi)}{cos(pi)} =- \frac{0}{-1} =0$ Результат e^0 = 1
- Автор:
  wilfredofgsi
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ