Найти решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными

Найти решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

y"-4y'-5y = 8 cos2x+9sin2x добавлю 20 баллов
- Предмет:
  Математика
- Автор:
  felix4jzp
- 5 лет назад

Ответы 1

Это дифференциальное уравнение второго порядка, линейное неоднородное со специальной правой части(относится ко второму виду)Нужно найти: Уо.н. = Уо.о. + Уч.н.Найдем решение однородного уравнения $y''-4y'-5y=0$ Воспользуемся методом Эйлера $y=e^{kx}$ , и перейдем к характеристическому уравнению: $k^2-4k-5=0$ По т. Виета: $k_1=5\\ k_2=-1$ Тогда решение однородного уравнения имеет вид: $y_{o.o.}=C_1y_1+C_2y_2=C_1e^{5x}+C_2e^{-x}$ Найдем теперь частное решениеПоложим $f(x)=8\cos2x+9\sin2x$ $f(x)=x^ke^{\alpha x}(P_n(x)\sin ( \beta x)+Q_n(x)\cos( \beta x))$ Где $Q_n(x),\,\, P_n(x)$ - многочлены степеней х(или полиномы) $Q_n(x)=8;\,\,\,\, P_n(x)=9;\,\,\, \alpha=0;\,\,\, \beta=2$ Тогда частное решение будем искать в виде:Уч.н. $=A\cos2x+B\sin2x$ Найдем первую и вторую производную $y'=(A\cos2x+B\sin2x)'=2B\cos2x-2A\sin2x\\ \\ y''=(2B\cos2x-2A\sin2x)'=-4A\cos2x-4B\sin2x$ Подставим в исходное уравнение $-4A\cos2x-4B\sin2x-8B\cos2x+8A\sin2x-5A\cos2x-5B\sin2x\\ \\ =8\cos2x+9\sin2x\\ \\ -9A\cos2x-9B\sin2x-8B\cos2x+8A\sin2x=8\cos2x+9\sin2x\\ \\ \cos2x(-9A-8B)+\sin2x(8A-9B)=8\cos2x+9\sin2x$ Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем $\displaystyle \left \{ {{8A-9B=9} \atop {-9A-8B=8}} ight. \Rightarrow \left \{ {{A=0} \atop {B=-1}} ight.$ Тогда частное решение имеет вид:Уч.н. $=-\sin2x$ Уо.н. = $C_1e^{5x}+C_2e^{-x}-\sin2x$ - ответ.
- Автор:
  generali6kk
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ