Найдите трёхзначное число, сумма цифр которого равна 8, а сумма квадратов цифр делится на 11. В ответе укажите одно такое число.

abc

a + b + c = 8                         (1)

a² + b² + c² = 11x    x∈N       (2)

Возведем обе части (1) в квадрат. Получим:

(a + b + c)² = 64

a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac = 64

a² + b² + c² = 64 - 2(ab + bc + ac).   Тогда из (2):

64 - 2(ab + bc + ac) = 11x

Так как левая часть четна при любых a, b и с ∈ N, то разделим ее на 2:

32 - (ab + ac + bc) = 11x

Равенство выполняется в двух случаях: при х = 1 и х = 2, однако, сумма квадратов цифр числа, с суммой цифр, равной 8, не может равняться 11. Следовательно х = 2. Сумма квадратов цифр числа - 22 и само число:

332; 323; 233.

--------------------------

Ответ: 332.

==============================

Или так:

Так как сумма цифр трехзначного числа равна 8, и, по условию, цифры могут повторяться, то максимальное число, удовлетворяющее первому условию, - 800. Однако, второму условию это число не удовлетворяет, так как 64 не кратно 11.

Цифры 0 в составе числа быть не может, так как две оставшиеся цифры должны быть или обе четные, или обе нечетные. Сумма квадратов и в том, и в другом случае четна, что не соответствует условию 2.

Так как 64 - максимально возможная сумма квадратов цифр для данного числа, а цифры 0 в составе числа быть не может, то максимально возможное число уменьшается до 611. Сумма квадратов для этого числа - 38. Следовательно, сумма квадратов для числа, удовлетворяющего второму условию, может быть 33 или 22.

33 не подходит, так как 611 имеет сумму квадратов, равную 38, а 521 - сумму квадратов, равную 30.

Остается число 22. И исходное трехзначное число - 332; 323 или 233 с суммой квадратов цифр, равной 9 + 9 + 4 = 22

-------------------------

Ответ: 332.