Исследовать функцию и построить ее график: y=x^3-2x^2-4x

Исследовать функцию f (x) = x³ - 2x² - 4x и построить её график.

Решение:

1. Область определения функции - вся числовая ось.

2. Функция f (x) = x³ - 2x² - 4x непрерывна на всей области определения. Точек разрыва нет.

3. Четность, нечетность, периодичность:

 f(–x) = (–x)³–2(–x)²–4(–x)  = –x³-2x²+4x ≠ f(x) и 

f(–x) =  (–x)³–2(–x)²–4(–x)  = –(x³+2x²-4x) ≠ –f(x)

Функция не является ни четной, ни нечетной. Функция непериодическая.

4. Точки пересечения с осями координат:

Ox: y=0,  x³ - 2x² - 4x = x(x² - 2x - 4) = 0.

Один корень х₁ = 0.

 Приравниваем нулю второй множитель: x² - 2x - 4 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно x: 

Ищем дискриминант:

D=(-2)^2-4*1*(-4)=4-4*(-4)=4-(-4*4)=4-(-16)=4+16=20;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x₂=(√20-(-2))/(2*1)=(√20+2)/2=√20/2+2/2= 1 +√5 ≈ 3.236068;

x₃=(-√20-(-2))/(2*1)=(-√20+2)/2=-√20/2+2/2= 1 - √5 ≈ -1.236068.

Значит (0; 0), ((1 +√5); 0) и ((1 -√5); 0)- точки пересечения с осью Ox.

 Oy: x = 0 ⇒ y = 0. Значит (0;0) - точка пересечения с осью Oy.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума:

y'=0 ⇒ 3x² – 4x – 4  =0 .

Квадратное уравнение, решаем относительно x: 

Ищем дискриминант:

D=(-4)^2-4*3*(-4)=16-4*3*(-4)=16-12*(-4)=16-(-12*4)=16-(-48)=16+48=64;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x₁=(√64-(-4))/(2*3)=(8-(-4))/(2*3)=(8+4)/(2*3)=12/(2*3)=12/6=2;

x₂=(-√64-(-4))/(2*3)=(-8-(-4))/(2*3)=(-8+4)/(2*3)=-4/(2*3)=-4/6=-(2/3) ≈ -0,666667.

 x = -(2/3), x = 2 - критические точки.

Промежутки монотонности: где производная положительна, там функция возрастает (-∞; (-2/3) ∪ (2; +∞), где производная отрицательна - там функция убывает ((-2/3); 2). 

х =   -1    -0,66667      0        1        2        3 y' =   3            0          -4       -5        0       11.Где производная с плюса меняется на минус - точка максимума (х = (-2/3), а где с минуса на плюс - точка минимума (х = 2).

6. Вычисление второй производной: y''=0, 6x–4 = 0, x = 4/6 = 2/3.

7. Промежутки выпуклости и точки перегиба:

. Где вторая производная меньше нуля, там график функции выпуклый, а где больше - вогнутый.

х =    0        0,666667            1 y'' =  -4              0                   2

8. Искомый график функции дан в приложении.