Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке F. Известно, что AD = 30 м, CF = 16 м, а площади треугольников AFB, BFC и CFD равны соответственно 40 м2, 80 м2 и 120 м2. Какие значения может принимать величина угла DAC?

Спасибо огромное:)

Интересная задача, возможно есть решения попроще, но попробуем так:1. Обозначим искомый угол DAC как b (естественно лучше использовать греческие буквы, я для простоты возьму латинские), а угол AFC = BFC как a. Соответсвенно углы AFB и CFD будут равны 180 - a (буду использовать для измерения углов градусы, но можно и в радианы перевести, конечно).2. Распишем известные нам площади треугольников через две стороны и синус угла между ними. Сразу все не будем, по порядку:Safb = 40 = 1/2 * BF * AF * sin (180 - a)Вспомним, что sin (180 - a) равен sin a: Safb = 40 = 1/2 * BF * AF * sin aТеперь выпишем для следующего треугольника:Sbfc = 80 = 1/2 * BF * 16 * sin aА теперь мы видим, что эти выражения очень похожи. В них три неизвестных, но если одно выражение поделить на другое, то два из неизвестных уйдут:80/40 = (1/2 * BF * 16 * sin a) / (1/2 * BF * AF * sin a)2 = 16 / AFAF = 8Мы нашли AF и соответственно можем утверждать, что вся диагональ AC равна: AC = AF + FC = 8 + 16 = 243. Теперь рассмотрим ещё два треугольника и тоже применим для них такое выражение для площади:Safd = 1/2 * AF * AD * sin b = 1/2 * 8 * 30 * sin b = 120 sin bВторой треугольник ACD. Заметим, что он состоит из треугольников AFD и CFD, иными словами:Sacd = Safd + Scfd = Safd + 120А теперь запишем его площадь через синус, но вместо площади подставим предыдущую строчку:Sacd = Safd + 120 = 1/2 * AC * AD * sin bSafd + 120 = 1/2 * 24 * 30 * sin b = 360 sin bПодставляя полученное чуть раньше Safd = 120 sin b, получаем:120 sin b + 120 = 360 sin b120 = 240 sin bsin b = 1/2Как мы знаем, синус 1/2 бывает у углов в 30 или 150 градусов, или, если выражаться корректнее и в радианах, (/6 + 2**N) и (5/6 + 2**N), где N - целое