Дипломами городской олимпиады наградили 10 семиклассников. Может ли оказаться, что среди любых трех награжденных есть ровно одна пара одноклассников?
Решение обязательно

я думаю что может, если их десять, то будут три пары, 2*3=6 человек, 10-6=4 это две пары уже без награды

не может.пронумеруем награжденных 1 - 10.допустим, что 1-й и 2-й учатся в школе №1.тогда все остальные должны учиться не в школе №1..пусть 3-й учится в школе №2.тогда если рассмотреть тройку награжденных 1-3-4, то 4-й должен учиться как и 3-й в школе №2.поэтому все другие ученики должны учиться не в школе №2.рассмотрим 5-го.он не должен учиться ни в школе №1, ни в школе №2.пусть 5-й учится в школе №3.тогда если взять тройку 1-3-5, то все учатся в разных школах.пришли к противоречию.