Помогите решить Методом Лагранжа y'=(2y - 3) tgx - Дата: 04.02.2020, Автор: miraschmitt

Помогите решить Методом Лагранжа
y'=(2y - 3) tgx
- Предмет:
  Математика
- Автор:
  miraschmitt
- 5 лет назад

Ответы 1

$y'-2ytgx=-3tgx$ Решим сначала соответствующее однородное уравнение $y'-2ytg x=0$ Это уравнение с разделяющимися переменными $y'=2y tgx$ Воспользуемся определением дифференциала $\frac{dy}{dx}=2ytgx$ Разделяем переменные $\frac{dy}{y} =2tg xdx$ Интегрируя обе части уравнения, получим $\ln|y|=-2\ln|\cos x|+\ln C\\ \\ y= \dfrac{C}{\cos^2x}$ Находим теперь общее решение неоднородного уравнения, приняв константу за функцию, т.е. $C=C(x)$ $\displaystyle y=\dfrac{C(x)}{\cos^2x}$ Найдем для нее производную первого порядка $y'= \dfrac{C'(x)\cos^2x-C(x)2\cos x(-\sin x)}{\cos^4x}= \dfrac{C'(x)\cos x+2C(x)\sin x}{\cos^3x}$ Подставим в исходное уравнение $\dfrac{C'(x)\cos x+2C(x)\sin x}{\cos^3x} -2\cdot\dfrac{C(x)}{\cos^2x} \cdot tg x=-tg x\\ \\ \\ \dfrac{C'(x)}{\cos^2x} + \dfrac{2C(x)\sin x}{\cos^3x} -\dfrac{2C(x)\sin x}{\cos^3x} =-3tg x\\ \\ \\ \dfrac{C'(x)}{\cos^2x} =-3tg x\\ \\ C'(x)=-3\sin x\cos x$ Интегрируя обе части уравнения, получим $C(x)= \frac{3}{2} \cos^2x$ Подставив в $y=\dfrac{C(x)}{\cos^2x}$ , получим $y= \dfrac{3}{2}$ Тогда общее решение данного уравнения: $\boxed{y=\dfrac{C}{\cos^2x} + \dfrac{3}{2} }$
- Автор:
  aracelittep
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ