Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • Найдите сумму всех действительных корней уравнения (1+x+x^2)(1+x+…+x^10)=(1+x+…+x^6)^2.
    Подсказка:

    Подумайте, как можно решить это уравнение не раскрывая скобок.

Ответы 1

  • Очевидно, что в скобках это геометрическая прогрессия с первым членом b_1=1 и знаменателем q=x.Т.е.Для каждой скобки вычисляя сумму первых n членов, получим1+x+x^2= \dfrac{b_1(1-q^3)}{1-q} = \dfrac{1-x^3}{1-x} \\ \\ 1+x+...+x^{10}= \dfrac{b_1(1-q^{10})}{1-q} =\dfrac{1-x^{10}}{1-x} \\ \\ 1+x+...+x^6= \dfrac{b_1(1-q^7)}{1-q} = \dfrac{1-x^7}{1-x} Подставив в исходное уравнение, получим  \dfrac{(1-x^3)(1-x^{11})}{(1-x)^2}= \dfrac{(1-x^7)^2}{(1-x)^2} (1-x^3)(1-x^{11})=(1-x^7)^2\\ 1-x^{11}-x^3+x^{14}=1-2x^7+x^{14}\\ x^{11}-2x^7+x^3=0\\ x^3(x^8-2x^4+1)=0\\ x^3(x^4-1)^2=0Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, т.е.x_1=0\\ x_{2,3}=\pm1Корень х = 1 - посторонний (так как знаменатель обращается в 0)Сумма всех действительных корней равна 0 - 1 = -1Ответ: -1.

    • Автор:

      emma6
    • 5 лет назад
    • 0

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years