Докажите, что [tex] \frac{1}{3} * \frac{4}{6} * \frac{7}{9} * ... * \frac{100}{102} \

Ответы 1

Положим $a= \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{4}{6} \cdot \dfrac{7}{9} \cdot...\cdot \dfrac{100}{102};\,\,\,\,\, b= \dfrac{2}{4} \cdot \dfrac{5}{7} \cdot \dfrac{8}{10}\cdot...\cdot \dfrac{101}{103};$ $c= \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{6}{8} \cdot \dfrac{9}{11} \cdot...\cdot \dfrac{102}{104}.$ Поскольку $\dfrac{k}{k+2}\ \textgreater \ \dfrac{n}{n+2}$ при $k\ \textgreater \ n\ \textgreater \ 0$ , то имеем, что $a\ \textless \ b\ \textless \ c$ . Поэтому, $a^3\ \textless \ abc= \dfrac{1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot100\cdot101\cdot102}{3\cdot4\cdot5\cdot...\cdot102\cdot103\cdot104} = \dfrac{2}{103\cdot104} \ \textless \ \dfrac{2}{100\cdot100} =\dfrac{1}{5000}<\dfrac{1}{17^3}.$ откуда $a\ \textless \ \dfrac{1}{17}$ , что и требовалось доказать.
- Автор:
  gizmo85
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ