Докажите, что любое натуральное число представимо в виде частного от деления квадрата некоторого натурального числа на куб некоторого натурального числа.

Надо доказать, что для любого натурального n можно найти натуральные A и B n = A^2/B^3, такие чтоЗаметим, что число n допускает единственное разложение по степеням простых чисел:\displaystyle n = p_1^{m_1}p_2^{m_2}...p_z^{m_z}Где p_k - неповторяющиеся простые числа. Построим числа A и B по следующему алгоритму. Примем сначала A=B=1. Для каждого k-го множителя в разложении числа n есть два варианта.1) если степень m_k четная, домножим число A на p_k^{m_k/2}. Тогда числитель A^2 будет содержать множитель p_k^{m_k}, а так как знаменатель B^3 не содержит такого множителя, частное будет тоже содержать множитель p_k^{m_k}2) если степень m_k нечетная, домножим A на p_k^{(m_k+3)/2}, а B домножим на p_k. Тогда легко видеть, что отношение A^2 к B^3 будет содержать p_k в степени 2(m_k+3)/2-3 = m_k, что нам и надоДействуя таким образом, мы построим нужные нам числа A и B