Найти все а при которых уравнение cos2x + 2cosx= a+1 имеет ровно один корень на промежутке [ -п/3; п ]

А промежуток просто так дан?

Так промежуток и а не связаны.

Заменим cos(2*x)=2*cos²(x)-1, теперь cos2x + 2cosx=2*cos²(x)-1+2*cos(x). Обозначим cos(x)=y⇒2*y²-1+2*y-1-1=0-уравнение имеет один корень если дискриминант равен нулю D=4+4*2*(2+a)4+16+8*a=20+8*a=0⇒ф=-20/8=-2,5.Ответ: при а=-2,5.