Даны сто различных действительных чисел. Известно, что наименьшее из них равно 0,08, а наибольшее 40, причём среди всех возможных попарных сумм этих чисел ровно 197 различных. Найдите сумму этих чисел.

Пронумеруем числа в порядке возрастания: 0,08 = x1 < x2 < x3 < ... < x100 = 40.Введем удобное обозначение x(100 + i) = x(i + 1) + (x100 - x1)Заметим, что эти 197 сумм не могут быть равны:x1 + x2 < x1 + x3 < x1 + x4 < ... < x1 + x99 < x1 + x100 < x2 + x100 < x3 + x100 < ... < x99 + x100 (суммы начиная с x2 + x100 можно записать в виде x1 + x101, x1 + x102, ..., x1 + x198)Так как всего должно получиться 197 неравных сумм, то других значений сумм нет, все остальные суммы выражаются через написанные выше.Рассмотрим 97 сумм:(x1 + x3 <) x2 + x3 < x2 + x4 < x2 + x5 < ... < x2 + x99 (< x2 + x100)Так как каждая сумма равна какой-то из уже выписанных выше сумм, а также из того, между x1 + x3 и x2 + x100 есть только 97 сумм, получаем серию равенств:x2 + x3 = x1 + x4x2 + x4 = x1 + x5...x2 + x99 = x1 + x100Продолжаем разбираться с суммами вида ai + aj, 3 <= i < j <= 99 при фиксированном i. Пусть с предыдущего шага известно, что a(i - 1) + a(i + 1) = 1 + a(2i - 1). Рассмотрим все суммы указанного вида. Они все не равны, расположены между x1 + x(2i - 1) и xi + x100 = x1 + x(99 + i). Между этими значеними есть как раз (99 - i) разрешённых значений для сумм, так что можно записать, что xi + x(i + 1) = x1 + x(2i)xi + x(i + 2) = x1 + x(2i + 1) (<- это, кстати, показывает, что равенство a(i - 1) + a(i + 1) = 1 + a(2i - 1) будет верно и для следующего i)...xi + x99 = x1 + x(98 + i)Проделав это, получаем, чтоx1 + x(t - 1) = xi + x(t - i)Осталось заметить, чтоx1 + x100 = x2 + x99 = x3 + x98 = ... = x50 + x51(x1 + x100) + (x2 + x99) + ... + (x50 + x51) = 50 * (x1 + x100)В левой части стоит сумма всех чисел, а в правой - число 50 * (0.08 + 40) = 2004.Ответ. 2004.