Помогите доказать Доказать, что сумма трех степеней числа 3 с натуральными идущими подряд показателями, меньший из которых не меньше числа 2, делится без остатка на 117.

Ответы 1

Задание. Доказать, что сумма трех степеней числа 3 с натуральными идущими подряд показателями, меньший из которых не меньше числа 2, делится без остатка на 117. Решение:Из условия нужно доказать, что $3^n+3^{n+1}+3^{n+2}$ делится без остатка на 117 при любом натуральном $n \geq 2$ .Докажем методом математической индукции.1) Базис индукции (n=2)При $n=2$ получаем $3^2+3^3+3^4=117$ , т.е. утверждение справедливо.2) Допустим, что и при $n=k$ сумма $3^k+3^{k+1}+3^{k+2}$ делится на 117.3) Индукционный переход (n=k+1) $3^{k+1}+3^{k+2}+3^{k+3}=3\cdot3^k+3\cdot3^{k+1}+3\cdot 3^{k+2}=\\ \\ =3(3^k+3^{k+1}+3^{k+2}).$ По предположению индукции $3^k+3^{k+1}+3^{k+2}$ делится на 117.Таким образом, сумму трех степеней числа 3 с натуральными идущими подряд показателями, меньший из которых не меньше 2, делится без остатка на 117.
- Автор:
  imanijddx
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ