Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • Прошу помощи в решение задачи по математики.

    В задаче дан степенной ряд.
    На фото задание.

    Решить надо:

    а=4, b=7

    question img

Ответы 2

  • a=4\; ,\; b=7\\\\\sum\limits _{n=1}^{\infty }\; \frac{4^{n}x^{n}}{7^{n}\cdot \sqrt[4]{n+1}}=\frac{4x}{7\sqrt[4]{2}}+\frac{16x}{49\sqrt[4]{3}}+\frac{64x}{343\sqrt[4]{4}}+...\\\\ \lim\limits _{n \to \infty} \; \frac{|u_{n+1}|}{|u_{n}|} = \lim\limits _{n \to \infty}\; \frac{4^{n+1}|x|^{n+1}}{7^{n+1}\cdot \sqrt[4]{n+2}}:\frac{4^{n}|x|^{n}}{7^{n}\cdot \sqrt[4]{n+1}} =\\\\=\lim\limits _{n \to \infty}\; \frac{4^{n}\cdot 4\cdot |x|^{n}\cdot |x|}{7^{n}\cdot 7\cdot \sqrt[4]{n+2}}\cdot \frac{7^{n}\cdot \sqrt[4]{n+1}}{4^{n}\cdot |x|^{n}} = \frac{4}{7}\cdot |x|\ \textless \ 1\\\\-1\ \textless \ \frac{4}{7}\cdot x\ \textless \ 1 - \frac{7}{4}\ \textless \ x\ \textless \ \frac{7}{4}\\\\x\in (- \frac{7}{4}; \frac{7}{4} )\; \; -\; \; interval\; sxodimosti\\\\x=\frac{7}{4}:\; \; \sum\limits _{n+1}^{\infty } \frac{1}{\sqrt[4]{n+1}} \; \; -\; \; rasxoditsya\; ,\; t.k.\; \frac{1}{\sqrt[4]{n+1}}\sim \frac{1}{\sqrt[4]{n}} =\frac{1}{n^{1/4}},\; \frac{1}{4}\ \textless \ 1\\\\x=-\frac{7}{4}\; :\; \sum\limits _{n+1}^{\infty } \frac{(-1)^{n}}{\sqrt[4]{n+1}} \; -\; yslovno\; sxoditsya\; po\; pr.\; Lejbnica\\\\x\in [-\frac{7}{4};\frac{7}{4})\; -\; oblast\; sxodimosti
  • \frac{4^n*x^n}{7^n* \sqrt[4]{n+1} } К сожалению, знак ряда я здесь изобразить не могу.Три первых члена ряда:a1= \frac{4x}{7 \sqrt[4]{2} } ; \\ a2= \frac{16x^2}{49 \sqrt[4]{3} }; \\ a3= \frac{64x^3}{343 \sqrt[4]{4} } Интервал сходимости можно найти по признаку Даламбера. \lim_{n \to \infty} \frac{a(n+1)}{a(n)} = \lim_{n \to \infty} ( \frac{4^{n+1}*x^{n+1}}{7^{n+1}* \sqrt[4]{n+2} }: \frac{4^n*x^n}{7^n* \sqrt[4]{n+1} } )= \lim_{n \to \infty} (\frac{4x}{7}\frac{ \sqrt[4]{n+1} }{ \sqrt[4]{n+2} } )Ряд сходится, если этот предел меньше 1. \lim_{n \to \infty} ( \frac{4x}{7}* \sqrt[4]{ \frac{n+1}{n+2} } )= \frac{4x}{7}* \lim_{n \to \infty} \sqrt[4]{ \frac{n+2-1}{n+2} } = \\ = \frac{4x}{7}* \lim_{n \to \infty} \sqrt[4]{1- \frac{1}{n+2} }= \frac{4x}{7}*1\ \textless \ 1 |x| < 7/4На концах интервала получаются ряды:При x = 7/4: \lim_{n \to \infty} ( \frac{4^n}{7^n}*( \frac{7}{4} )^n* \frac{1}{ \sqrt[4]{n+1} } )= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{ \sqrt[4]{n+1} } Это обобщенный гармонический ряд вида \frac{1}{n^k} Он расходится при показателе k ∈ (0; 1), как у нас и есть: k = 1/4 < 1Значит, при x = 7/4 ряд расходится.При x = -7/4 получается знакопеременный ряд, который сходится условно по признаку Лейбница.Интервал сходимости: x ∈ [-7/4; 7/4)

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years