решите :sin3x+sinx+2cosx=sin2x+2cos²x

решите :
sin3x+sinx+2cosx=sin2x+2cos²x
- Предмет:
  Математика
- Автор:
  spud
- 5 лет назад

Ответы 2

$sin3x+sinx = 2 sin\frac{3x+x}{2} cos \frac{3x-x}{2} =2sin2xcosx$ $2sin2xcosx+2cosx = 2cos^2x+2sinxcosx$ $sin2xcosx+cosx=cos^2x+sinxcosx$ $cosx(sin2x+1) = cosx(cosx+sinx)|$ $cosx(sin2x+1)-cosx(cosx+sinx)=0$ $cosx((sin2x+1)-(cosx+sinx))=0$ $cosx=0; x = б\frac{ \pi }{2} +2 \pi n$ $((sin2x+1)-(cosx+sinx))=0$ $sin2x+1=cosx+sinx$ $sin^2x+2sinxcosx+cos^2x=sinx+cosx$ $(sinx+cosx)^2 = (sinx+cosx)$ $(sinx+cosx)^2-(sinx+cosx)=0$ $(sinx+cosx)(sinx+cosx-1)=0$ $sinx+cosx =0$ $sinx = -cosx |:cosx$ $tgx= -1$ $x = - \frac{ \pi }{4} + \pi n$ $sinx+cosx = 1$ $(sinx+cosx)^2=1^2$ $sin^2x+2cosxsinx+cos^2x=1$ $1+2sinxcosx=1$ $2sinxcosx=0$ $sinxcosx=0$ $sinx=0$ $x = 2 \pi n$ $cosx=0$ $x = б\frac{ \pi }{2} +2 \pi n$ т.к. уравнение $sinx+cosx = 1$ мы возводили к квадрат, то у нас могли появиться побочные корни. корень $x = -\frac{ \pi }{2} +2 \pi n$ не является решением уравнения $sinx+cosx = 1$ , что проверяется подстановкой. (синус - нечетная функция, sin(-x)=-sinx, $-1+0 eq 1$ )корнем уравнения $sinx+cosx = 1$ является только: $x = \frac{ \pi }{2} +2 \pi n$ .*но корнем $cosx=0$ (см. 7 строку решения) является $x = б \frac{ \pi }{2} +2 \pi n$ , поэтому:ответ: $x = 2 \pi n$ $x = б \frac{ \pi }{2} +2 \pi n$ $x = - \frac{ \pi }{4} + \pi n$
- Автор:
  benitez
- 5 лет назад
- 0
sin3x+sinx+2cosx=sin2x+2cos²x2sin2xcosx+2cosx=2sinxcosx+2cos²x4sinxcos²x+2cosx-2sinxcosx-2cos²x=02cosx(2sinxcosx+1-sinx-cosx)=0cosx=0⇒x=π/2+πk,k∈z(2sinxcosx+sin²x+cos²x-(sinx+cosx)=0(sinx-cosx)²-(sinx+cosx)=0(sinx+cosx)(sinx+cosx-1)=0sinx+cosx=0/cosx≠0tgx+1=0⇒tgx=-1⇒x=-π/4+πk,k∈zsinx+cosx-1=02sinx/2cosx/2+cos²x/2-sin²x/2-sin²x/2-cos²x/2=0-2sin²x/2+2sinx/2cosx/2=0-2sinx/2*(sinx/2-cosx/2)=0sinx/2=0⇒x/2=πk⇒x=2πk,k∈zsinx/2-cosx/2=0/cosx/2tgx/2-1=0⇒tgx/2=1⇒x/2=π/4+πk⇒x=π/2+2πk,k∈zОтвет x=π/2+πk,k∈zx=-π/4+πk,k∈zx=2πk/,k∈z
- Автор:
  snugglesdavies
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ