В равнобедренном треугольнике ∠С = 90градусов. На сторонах АС и ВС взяты точки M и N, а на стороне АВ - точки Р и К так, что четырехугольник MNPK является квадратом. Найдите АВ, если МN = 27.

Проведём диагональ KN.Докажем, что KN ⊥ CB.KN - диагональ квадрата ⇒ ∠NKP = 1/2 * ∠MKP = 45°∠CAB = ∠NKB - соответствующие углы ⇒ AC║KNAC ⊥ CB, AC║KN ⇒ KN ⊥ CBKN ⊥ CB ⇒ ΔKNB - прямоугольный∠NKB = 45° (из решения) ⇒ ΔKNB - равнобедренный∠KPN = 90° (угол квадрата) ⇒ NP ⊥ KB ⇒ NP - высотаТак как ΔKNB - р/б, то NP - медиана ⇒ KP = PB = 27Аналогично можно рассмотреть диагональ MP и ΔPMAMK - медиана ⇒ AK = KP = 27AB = AK + KP + PB = 27 + 27 + 27 = 81Ответ: 81