Доказать,что если углы треугольника связаны равенством: cos^2(A)+cos^2(B)+cos^2(C)=1, то треугольник - прямоугольный.

Упорядочим по возрастанию углы треугольника A \leq B\leq CОчевидно, что C\geq\pi/3\qquad A+B\leq 2\pi/3Если первое не выполнится, то сумма углов треугольника будет заведомо меньше π, а второе следует из первого. Также заметим, что если в треугольнике и есть тупой угол, то это угол С, а углы A и B гарантированно острыеПреобразуем\cos^2(A)+\cos^2(B)+\cos^2(\pi-A-B)=1\\ 1+\cos(2A)+1+\cos(2B)+2\cos^2(A+B) = 2\\ \cos(2A)+\cos(2B)+2\cos^2(A+B)=0\\ 2\cos(A+B)\cos(A-B)+2\cos^2(A+B)=0\\ \cos(A+B)[\cos(A+B)+\cos(A-B)]=0\\ 2\cos(A+B)\cos(A)\cos(B)=0Так как углы острые, остается единственный вариант:A+B=π/2.C = π-A-B = π/2