Помогите решить диф. уравнение y' + y*tg(x) = 1/cos(x), y(0)=1

Помогите решить диф. уравнение

y' + y*tg(x) = 1/cos(x), y(0)=1
- Предмет:
  Математика
- Автор:
  jaidyn27
- 6 лет назад

Ответы 2

Спасибо! <3
- Автор:
  jackrabbit
- 6 лет назад
- 0
Имеем линейное дифференциальное уравнение. Решение будем искать в виде произведения двух функций $y=u(x)\times v(x)$ , тогда по правилу дифференцирования произведения: $y'=u'v+uv'.$ Подставляя замену в исходное уравнение, получим. $u'v+uv'+uv\,tg x= \dfrac{1}{\cos x} \\ u'v+u(v'+vtg x)= \dfrac{1}{\cos x}$ Функцию v подбираем так, чтобы выражение в скобках равнялось 0. То есть, имеет место система. $\displaystyle \left \{ {{v'+v\, tgx=0} \atop {u'v= \frac{1}{\cos x} }} ight.$ Первое дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными:. $\displaystyle v'=-vtgx\Rightarrow\,\, \frac{dv}{dx} =-v\, tgx\Rightarrow \int\limits{ \frac{dv}{v} } = \int\limits -tg xdx\Rightarrow\,\, \ln |v|=\ln|\cos x|$ откуда $v=\cos x$ Подставим найденное значение $v$ во второе уравнение системы:. $\displaystyle \frac{du}{dx}= \frac{1}{\cos^2 x}\Rightarrow\,\, \int\limits du= \int\limits \frac{dx}{\cos^2 x}\Rightarrow\,\, u=tgx+C$ Возвращаемся к обратной замене.. $y=(tg x+C)\cos x\Rightarrow\,\,\, y=\sin x+ C\cos x$ Найдем теперь частное решение задачи Коши, используя начальное условие $y(0)=1$ , найдем значение константы интегрирования:. $1=\sin0+C\Rightarrow\,\,\, C=1.$ Таким образом, частное решение заданного уравнения будет иметь вид:. $\boxed{y=\sin x+\cos x}$ Ответ: $y=\sin x+\cos x.$
- Автор:
  clydesims
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ