Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • Решить дифференциальное уравнение y'-(y/x) = (1/x^2)

Ответы 1

  • Данное дифференциальное уравнение является линейным, неоднородным. Его решение будем искать в виде произведения двух функций y=u(x)\times v(x), тогда по правилу дифференцирования произведения y'=u'v+uv'. Подставляя в исходное уравнение, получим·                             u'v+uv'- \dfrac{uv}{x}= \dfrac{1}{x^2} \Rightarrow\,\,\, u'v+u\bigg(v'- \dfrac{v}{x} \bigg)= \dfrac{1}{x^2} Подбираем функцию v так, чтобы выражение в скобках было равно 0. То есть, имеет место система·                                                          \displaystyle \left \{ {{v'- \frac{v}{x} =0} \atop {u'v= \frac{1}{x^2} }} ight. Первое дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными:·                        \displaystyle \frac{dv}{dx} = \frac{v}{x} \Rightarrow\,\, \int\limits \frac{dv}{v}= \int\limits \frac{dx}{x} \Rightarrow\,\, \ln|v|=\ln|x|\Rightarrow\,\, v=xПодставим найденное значение во второе уравнение и решим его:·            \displaystyle u'x= \dfrac{1}{x^2} \Rightarrow\,\, u'= \dfrac{1}{x^3} \Rightarrow\,\, u= \int\limits \frac{dx}{x^3}= \frac{x^{-2}}{-2}+C=- \frac{1}{2x^2}+C  Вернувшись к замене, получим:·                    y=\bigg(- \dfrac{1}{2x^2}+C \bigg)\times x= - \dfrac{1}{2x}+C x - общее решениеОтвет: y=- \dfrac{1}{2x}+C x.

    • Автор:

      rubi
    • 6 лет назад
    • 0

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years