доказать, что n различных прямых, лежащих в одной плоскости, разбивают эту плоскость на области, которые можно закрасить белой и чёрной красками так, что смежные области будут закрашены разными красками

Нужно лишь доказать тот факт, что количество частей на которые разбивают прямые плоскость четно. Допустим есть n прямых. Посмотрим что произойдёт при добавлении ещё одной. Она делит если не все, то определённое количество плоскостей на две части. Таким образом, всегда будем иметь сетное число частей. Соотвественно будет существовать такая возможность раскраски.