На доске нарисовали треугольник ABCABC со сторонами AB=9AB=9, BC=8BC=8, AC=5AC=5.
Затем отметили точки DD и EE так, что ∠ADB=∠BEC=90∘∠ADB=∠BEC=90∘. Найдите наибольшее возможное значение длины отрезка DEDE.

Только что отвечал на точно такую же задачу...Геометрическое место точек Д, удовлетворяющих условию ∠ADB=90 - это окружность с центром в середине стороны AB и диаметром, равным АВ Геометрическое место точек Е, удовлетворяющих условию ∠BEC=90 - это окружность, построенная на стороне ВС, с центром в середине стороны и диаметром, равным её длинеЭти окружности пересекаются. Наибольшее возможное значение длины отрезка DE получится, если отрезок DE проходит через центры окружностей.При этом длина DE составит сумму радиусов двух окружностей и их межцентрового расстояния.Радиусы окружностей равны половине длины сторон, на которых они построенымежцентровое расстояние можно найти из подобия основного треугольника, и малого, образованного половинами сторон и соединяющим середины сторон отрезком. Малый треугольник ровно в два раза меньше, а значит, межцентровое расстояние тоже в два раза меньше стороны АСИтого - максимум DE равен полупериметру треугольника АВС и численно составляет (9+8+5)/2 = 11