3xy+10x-13y-35=0 найти все целочисленные решения уравнения

но это не я решила, из инета

Преобразуем1) 3xy + 10x - 13y - 35 = 03x * (y + 10/3) - 13 * (y + 10/3) + 130/3 - 35 = 0(3x - 13) * (y + 10/3) + 25/3 = 0(3x - 13) * (y + 10/3) = - 25/3(13 - 3x) * (3y + 10) = 25Возможные варианты1*255*525*1-1*-25-5*-5-25*-1Решая эти системы, находимх1 = 4; у1 = 5х2 = -4; у3 = -3х3 = 6; у2 = -5

Решение, которое предложено выше, попробую расписать, чтобы было действительно понятно.

1. Преобразовать, значит разложить на множители.

Приступим:

1 шаг решения:

3ху+10х-13у-35=0

нужно как-то сгруппировать. Казалось бы, что очевидно взять 10х и 35, в них хоть есть общий множитель, который можно вынести за скобку, но нет. Помним, что при решении этих гадких примеров, число без неизвестного нам потребуется справа от знака равенства. Поэтому 35 трогать скорее всего не стоит.

Берём первые два члена уравнения и выносим за скобку "3х", но т.к. 10 на 3 не делится без остатка, оставляем без деления т.е дробь 10/3.

Получается:

1шаг: 3х(у+10/3) - 13у - 35 =0

2 шаг решения:

Теперь для манёвра вообще ничего не осталось. Т.к. "35" мы решили, что нам не стоит пока использовать в группировке, остаётся "13у". Но и с этим ничего не сделать. Т.е. нам не хватает членов уравнения. Давайте их допишем. Помним, что если мы прибавим и вычтем одно и то же число, то решение уравнения не изменится. И в нашем случае добавляем и убавляем дроби "+130/3" и "-130/3"

И дробь с минусом запишем немного иначе:

-130/3 = 13*10/3

2 шаг: 3х(у+10/3)-13у-130/3+130/3-35 =0

3х(у+10/3)-13у-13*10/3+130/3-35 =0

3 шаг решения - это очевидная уже группировка "-13у" и "-13*10/3" выносим общий множитель "-13" получаем:

3 шаг:

3х(у+10/3)-13(у+10/3)+130/3-35=0

Бинго!!!

Нам кидается прям в глаза общий множитель "у+10/3". Который мы вынесем за скобку. И пора заняться оставшейся без внимания частью уравнения: 130/3-35.

Поэтому в четвёртом шаге мы вынесем общий множитель за скобки, приведём к общему знаменателю "3" члены уравнения без неизвестных и выполним это действие.

Итак:

4 шаг:

(у+10/3)*(3х-13) + 130/3 - 105/3=0;

(у+10/3)*(3х-13) + 25/3=0

Теперь нам нужно сделать две вещи. Во-первых, перенести 25/3 через знак равенства и во-вторых избавится от дробной части, умножив правую и левую часть уравнения на "-3". Умножаем на "-", чтобы избавиться от отрицательного значения в правой части. Получаем:

5 шаг:

-3(у+10/3)*(3х-13) = - 25/3 * (-3);

-(3у+10)*(3х-13) = 25

Для следующего этапа осталось избавиться от "-" в левой части. Умножим на этот "-" один из множителей. Для удобства "3х-13". Т.е. меняем знаки в скобке на противоположные. И получаем итоговое преобразованное уравнение:

(3у+10)*(13-3х)=25

6 шаг:

находим все делители числа 25. Т.е, на которые 25 делится без остатка.

Получаем: 1, 5, 25 и -1, -5, -25.

Составляем системы уравнений приравнивая уравнения в каждой системе либо к отрицательными крайними делителям, либо к крайним правым. Т.к для "5" и "-5" пар нет берём для обоих уравнений в соответствующих системах или "5" или "-5".

Решение каждой системы - это и есть ответы на пример. Но только целые значения.

Системы:

1) 3у+10=1

13-3х=25

Ответ: ( -4;-3 )

2) 3у+10=25

13-3х=1

Ответ: (4; 5)

3) 3у+10=5

13-3х=5

Ответ: (-8/-3; -5/3) не подходит

4) 3у+10=-1

13-3х=-25

Ответ: (-38/-3; -11/3) не подходит т.к. не делится без остатка.

5) 3у+10=-25.

13-3х=-1

Ответ: (-14/-3; -35/3) не подходит

6). 3у+10=-5

13-3х=-5

Ответ: (6; -5)

Ответы: (-4;-3), (4;5), (6;-5)