Пусть для всех членов последовательности a0, a1, … выполнено соотношение
am+n+am−n=12(a2m+a2n),
где m≥n. Найдите a2015, если a1=1.

В задаче опечатка: должно быть не 12, а 1/2.

Для любых m > n выполнено:

a(m+n) + a(m-n) = 1/2(a(2m) + a(2n))

Известно, что a(1) = 1.

найти a(2015)

Если m = 1 и n = 0, то выполнено:

a(1+0) + a(1-0) = 1/2(a(2*1) + a(2*0))

2*a(1) = 1/2(a(2) + a(0)) = 2

a(2) + a(0) = 4

a(2) = 4 - a(0)

Для m=2, n=0 выполнено:

a(2) + a(2) = 1/2(a(4) + a(0)) = 8 - 2a(0)

a(4) + a(0) = 16 - 4a(0)

a(4) = 16 - 5a(0)

Для m = 2, n = 1 выполнено:

a(3) + a(1) = 1/2(a(4) + a(2))

a(3) + 1 = 1/2(16 - 5a(0) + 4 - a(0)) = 10 - 3a(0)

a(3) = 9 - 3a(0)

Для m = 3, n = 0 выполнено:

a(3) + a(3) = 1/2(a(6) + a(0))

4a(3) = 36 - 12a(0) = a(6) + a(0)

a(6) = 36 - 13a(0)

Для m=3, n=2 выполнено:

a(5) + a(1) = 1/2(a(6) + a(4)) = 1/2(36 - 13a(0) + 16 - 5a(0))

a(5) + 1 = 26 - 9a(0)

a(5) = 25 - 9a(0)

Для m=3, n=1 выполнено:

a(4) + a(2) = 1/2(a(6) + a(2)) = 1/2(36 - 13a(0) + 4 - a(0))

16 - 5a(0) + 4 - a(0) = 20 - 7a(0)

20 - 6a(0) = 20 - 7a(0)

a(0) = 0; a(1) = 1 по условию, отсюда:

a(2) = 4; a(3) = 9; a(4) = 16; a(5) = 25; a(6) = 36

Очевидно, что это просто ряд квадратов чисел.

Ответ: a(2015) = 2015^2