Доказать, что трехчлен  ах2 +bx+c

принимает целые значения при любом целом значении х тогда и только тогда, когда 2а, а+b, c– целые числа. Сформулируйте, какое может быть аналогичное условие для   ах3+bx2+c+d

Решение: Пусть трехчлен  ах2 +bx+c

принимает целые значения при любом целом значении х тогда

целым будет f(0)=a*0^2+b*0+c=c , значит с - должно быть целым

целым будет f(1)=a*1^2+b*1+c=a+b+c - должно быть целым

целым будет f(0)=a*(-1)^2+b*(-1)+c=a-b+c  - должно быть целым

а значит целыми будут и числа  

a+b=(a+b+c)-c

a-b=(a-b+c)-c

2а=(a+b)+(a-b)

Пусть 2а, а+b, c– целые числа. Докажем, что тогда при любом целом значении х трехчлен  ах2 +bx+c принимает целые значения

с - целое, значит осталось доказать, что для любого целого х:ax^2+bx=ах^2 +bx+c-с - целое

так как ax^2+bx=x*(ax+b) и х - целое то нужно доказать, что

целым является ах+в

ax+b=ax+bx-bx+b=(a+b)x-b(x-1) - целое, потому что х-1 - целое(так как х целое), b - целое, х -целое, a+b - целое, произведение и разница целых чисел явлтся целым числом

Доказано в обе стороны

Признак для кубического многочлена

Учитывая доказательство выше и то что

ах3+bx2+cх+d=(ах2 +bx+c)x+d

то ах3+bx2+cх+d принимает целые значения при любом целом х тогда итолько тогда, когда 2а, а+b, c,d - целые числа

з.і. вроде так*)