найти общее решение дифференциального уравнения: y'+y*tgx=1/cosx

Сначала находим общее решение однородного уравнения

y'+tgx*y=0.

Разделяем переменные

dy/y = -tgx*dx

интегрируя, получаем y=C*cos(x)

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде

y0=f(tg(x))*cos(x), Где f - неизвестная дифференцируемая функция от аргумента "tg(x)"

дифференуируем: y0'=-sin(x)*f(tg(x))+cos(x)*df/d(tg(x))

во втором слагаемом раскрываем производную сложной функции:

получим: y0'=-sin(x)*f(tg(x))+cos(x)*(df/d(tg(x))*(d(tg(x))/dx) =

далее опускаем аргумент функции f(tg(x))

-sin(x)*f+1/cos(x)*df/d(tg(x))

Подставив y0' и y0 в исходное уравнение, получим, что многое сократится и производная df/d(tg(x)) = 1, откуда f=tg(x)

Ответ: y= C*cos(x)+ tg(x)*cos(x)