Вокруг треугольника ABC описана окружность с центром O и радиусом 4, ∠ABC = 60◦ . На стороне AB взята точка M такая, что AM : MB = 2 : 3, ∠BMO = 30◦ . Найдите площадь треугольника ABC.

Диаметр и максимальная длина хорды заданной окружности равны 2*4=8.Точка М принадлежит окружности с радиусом, равным (2/5)*4 = 1,6.Угол ЕДА, как центральный, равен 2*30 = 60 градусов.Поэтому прямая ОМ проходит через точку Е на оси ординат с координатами Е(0; 1,6).Угол АОС равен 2*60 = 120 градусов.Основание АС треугольника равно: АС = 2*4*cos 30° = 8*√3/2 = 4√3.Тангенс угла наклона прямой ОМ равен:tg KOE = (2-1.6)/(2√3) = 0.4/2√3 ≈  0,11547.∡KOE = arc tg  0,11547 =  0,114961 радиан = 6,586776°.Тогда угол наклона стороны АВ к оси абсцисс равен:∡А =  30° +  6,586776° =36,586776°.∡С = 180° - 60° - 36,586776° =  83,41322°.Теперь по стороне и двум углам находим и боковые стороны (по теореме синусов) и площадь треугольника АВС (по формуле Герона). Известно: сторона b  и два прилегающих угла A и С. Стороны  b и с  равны  :          а                    b                        c                                          6,9282032    4,768316485      7,947194142Угол А,градус      36,58678 Угол В,градус      60 Угол С,градус      83,413224  S = 16,40890239.