Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • Помогите решить диф. уравнение: x^3*y'+x^2*y-y^2=2x^4

Ответы 1

  • Уравнение Риккати. x^3y'+x^2y-y^2=2x^4 Разделим на x^3y' + \frac{y}{x} - \frac{y^2}{x^3} = 2xИщем частное решение. Пусть y_1 = cx^2, подставляем в уравнение:(cx^2)' + \frac{cx^2}{x} + \frac{(cx^2)^2}{x^3} = 2x2cx + cx - c^2x - 2x = 0 c^2 - 3c + 2 = 0D = 9 - 8 = 1 \sqrt{D} =1c_1 = 1y_1 = c_1x^2 = x^2Что ж мы получили частное решение, теперь нужно найти общее:y = y_1 + v = x^2 + vСнова подставляем в уравнение:(x^2 + v)' + \frac{x^2 + v}{x} - \frac{(x^2 + v)^2}{x^3} = 2x2x+ v' + x+ \frac{v}{x} - x - \frac{2v}{x} - \frac{v^2}{x^3} = 0 v' - \frac{v}{x} = \frac{u^2}{x^3} \frac{dv}{dx} - \frac{v}{x} = \frac{v^2}{x^3} Разделим на v^2 обе части: \frac{1}{v^2} \frac{dv}{dx} - \frac{1}{vx} = \frac{1}{x^3} Пусть: g = \frac{1}{v} , тогда g' = \frac{v'}{v^2} Итоговое уравнение после подстановки:g' + \frac{g}{x} = - \frac{1}{x^3} Домножим на x  x\frac{dg}{dx} + g = - \frac{1}{x^2} \frac{d}{dx}(xdg) + \frac{d}{dx}(gdx) = - \frac{1}{x^2}По правилам дифференцирования произведения производных (uv)' = u'v + v'u, но у нас тут вместо штрихов дифференциалы. Получаем: \frac{d}{dx} (x*g) = - \frac{1}{x^2}\int \frac{d}{dx}xg = \int - \frac{1}{x^2} dx xg = \frac{1}{x} + Cg = \frac{1}{v} = \frac{1+ Cx}{x^2} } v = \frac{x^2}{1+ Cx} }ИТОГОВАЯ ФУНКЦИЯ:y = y_1 + v = x^2 + \frac{x^2}{1+ Cx} } = \frac{x^2+ x^2 + Cx^3}{1+ Cx} } = \frac{2x^2 + Cx^3}{1+ Cx} }

    • Автор:

      victor859
    • 5 лет назад
    • 0

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years