В прямоугольном треугольнике АВС точка М-середина гипотенузы АВ. Найдите угол АВС, если угол АМС=116 градусов. Ответ дайте в градусах.

а) ∠АMN=90 °; ∠ACN= 90 °.Сумма противоположных углов четырехугольника СNMA равна 180 °, значит около четырехугольника CNMA можно описать окружность.∠СMN=∠CAN как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу NC.б)Так как точка М– середина гипотенузы является центром окружности, описанной около треугольника АВС, тоВM=AM=CM Треугольник CMB – равнобедренный, так как СM=BM.Треугольник ANB – равнобедренный, так как NM – серединный перпендикуляр к АВ, поэтому BN=AN.Угол В в этих треугольниках общий.По теореме синусов из треугольника АNBBN/sin∠B=2R1, R1– радиус окружности, описанной около треугольника ANB.По теореме синусов из треугольника СМВ:СM/sin ∠B=2R2R2– радиус окружности, описанной около треугольника СМВЗначитR1/R2=BN/CM, так как СМ=ВМ.R1/R2=BN/BMРассмотрим прямоугольный треугольник ВNM:cos∠B=BM/BNR1/R2=1/cos∠BПо условиюtg∠A=4/3 ⇒ 1+tg2∠A=1/cos2∠Aзначит cos2∠A=1/(1+tg2∠A)=1/(1+(4/3)2)=9/25так как угол А –острый, то cos∠A=3/5sin∠A=4/5sin∠A=cos∠BR1/R2=1/cos∠B=1/(4/5)=5/4О т в е т. 5/4