Женя расставил по кругу числа от 1 до 10 в некотором порядке а Дима в каждый промежуток между числами вписал их сумму могло ли так случится что все написанные Димой числа оказались различными??

Может такое быть. Порядок чисел по кругу такой:

2, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Суммы: 3, 4, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 12