Володя расставил несколько (возможно 0) шахматных фигур на доску 8x8. Леня заметил, что в каждом квадрате 2x2 стоит одинаковое количество фигур. А Влад заметил, что в каждом прямоугольнике 3x1(или 1x3) стоит одинаковое количество фигур. Сколько фигур было выставлено на доску? (Укажите все варианты и докажите, что других нет)

Так как квадрат состоит из 2*2=4 клеток, а прямоугольник состоит из 1*3=3 клеток, и числа 4 и 3 взаимно простые, нарисуем прямоугольник с наименьшим количеством клеток 12, который можно покрыть тремя не пересекающимися квадратами либо четырьмя не пересекающимися прямоугольниками (см. приложение).

Есть 3 квадрата. Чтобы в них было поровну фигур, в нарисованном прямоугольнике может стоять :

3*0 = 0 фигур;

3*1 = 3 фигуры;

3*2 = 6 фигур;

3*3 = 9 фигур;

3*4 = 12 фигур.

Есть 4 прямоугольника. Чтобы в них было поровну фигур, в нарисованном прямоугольнике может стоять :

4*0 = 0 фигур;

4*1 = 4 фигуры;

4*2 = 8 фигур;

4*3 = 12 фигур.

Одинаковое количество фигур на данном прямоугольнике либо 0, либо 12 по количеству клеток, т.е. ВСЕ клетки либо пустые, либо на ВСЕХ клетках стоят фигуры.

Так как шахматная доска имеет размерность 8*8, а нарисованный прямоугольник имеет меньшие размеры 6*2, то доску можно покрыть этими прямоугольниками любым способом (естественно, с перекрытием). Пустых клеток не останется.

Так как на шахматной доске 8*8 = 64 клетки, то для выполнения условия задачи на доске должно стоять 0 фигур или 64 фигуры.