Найти Аналитическую функцию f(z)=u+iv, если u=x^2-y^2+xy. Спасибо за помощь

Ответы 1

Проверяем, что u(x, y) — гармоническая: $\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}=2-2=0$ Всё хорошо, значит, u(x, y) может быть действительной частью аналитической функции.Условия Коши-Римана: $\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial v}{\partial y};\quad \dfrac{\partial u}{\partial y}=-\dfrac{\partial v}{\partial x}$ $\dfrac{\partial v}{\partial x}=-\dfrac{\partial u}{\partial y}=2y-x\\ v(x,y)=2xy-\dfrac{x^2}2+\varphi(y)$ $2x+\varphi'(y)=\dfrac{\partial v}{\partial y}=\dfrac{\partial u}{\partial x}=2x+y\\ \varphi'(y)=y\\ \varphi(y)=\dfrac{y^2}2+C$ $v(x,y)=2xy-\dfrac{x^2}2+\dfrac{y^2}2+C\\ f(z)=u\left(\dfrac{z+\bar z}2,\dfrac{z-\bar z}{2i}ight)+iv\left(\dfrac{z+\bar z}2,\dfrac{z-\bar z}{2i}ight)\\\boxed{f(z)=\left(1-\dfrac i2ight)z^2+iC, \quad C\in \mathbb R}$
- Автор:
  hector512
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ