Решите систему уравнений:
[tex] \left \{ {{xy+z^{2} =2} \atop {yz+ x^{2} =2}} \atop {zx+ y^{2} =2}} ight. [/tex]²

xy+z^2=2yz+x^2=2zx+y^2=2-----------------------Конечно, (1,1,1) - решение, но единственное ли?Очевидно (-1,-1,-1) - тоже решение.Вычтем из первого второеу*(х-z)+(z-х)*(z+х)=0Если х не равен z, то возможно y=z+xточно также вычитая из второго третье:Если х не равен у, то возможно z=у+xНаконец, из первого третье:Если z не равен у, то возможно х=у+z-------------------Если выполнено одно из условий, вроде,х=у, получим указанные тривиальные решения и , возможно другие, к этому случаю вернемся.Иначе, решаем систему: х=у+z                                           z=у+x                                           y=z+x Есть решение (0,0,0), но оно не удовлетворяет  исходной системе.  Между тем, у этой системы ,  (0,0,0) - единственное решение ( в этом нетрудно убедиться, подставив, например третье во второе и получив2х=0 и т.д.)Пусть теперь, например х=у.Тогда остаются два уравнения  x^2+z^2=2                                                       xz+x^2=2Вычитая одно из другого , получим  или z=0 или х=z, если z=0, то х=sqrt(2) или х=-sqrt(2), иначеполучим те же тривиальные решения. Если х=(+-)sqrt(2), то и у=(+-)sqrt(2),так, что решения (sqrt(2),sqrt(2),0)  и (-sqrt(2),-sqrt(2),0)Точно также решения (0,sqrt(2),sqrt(2)) и (sqrt(2),0,sqrt(2)) и т.д.Значит решений всего 8: (1,1,1) ,(-1,-1,-1) , (sqrt(2),sqrt(2),0), (-sqrt(2),-sqrt(2),0), (0,sqrt(2),sqrt(2)) ,(0,-sqrt(2),-sqrt(2)), (sqrt(2),0,sqrt(2)) и (-sqrt(2),0,-sqrt(2))