Докажите, что уравнение xy = 2006 (x+y) имеет решения в целых числах.

Приведем уравнение к виду: 2006 = x*y/(x+y). Положим x = 2006*k, y = 2006*m, где k и m - целые. Тогда 2006 = 2006*k*2006*m/(2006*k+2006*m) = 2006^2*k*m/2006(k+m) = 2006*k*m/(k+m). Отсюда видно, что должно выполняться условие k*m/(k+m) = 1. Легко находим, что оно выполняется при k = m = 2, поскольку 2*2/(2+2) = 4/4=1. Тогда решениями уравнения будут, к примеру, числа x = 2006*2 = 4012 и y = 2006*2 = 4012.

Ответ: x = y = 4012.