Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • Вычислить несобственный интеграл, используя вычеты:

    интеграл от -бескон до + бескон (cosxdx)/(1+x^4)

Ответы 1

  • Вычислим предел интеграла\displaystyle\lim_{R\to\infty}\oint_{C_R}\frac{e^{iz}\,dz}{1+z^4} где интеграл берётся по контуру, состоящему из верхней полуокружности и отрезка [-R, R], обходимому в положительном направлении.С одной стороны, этот интеграл можно представить в виде суммы интегралов по дуге и отрезку, притом в силу леммы Жордана интеграл по дуге стремится к нулю, так как\displaystyle\left|\frac1{1+z^4}ight|=o\left(\frac1{R^3}ight)С другой стороны, этот интеграл можно взять при помощи вычетов. Под интегралом стоит мероморфная функция, имеющая простые полюсы в корнях 4-й степени из -1. В контур интегрирования попадают два из них, e^{i\pi/4} и e^{i3\pi/4}. Значения вычета функции f(z) / g(z) в простом полюсе z=z0, если f(z) не имеет особенностей в точке z0, а g(z) дифференцируема, вычисляются по формуле f(z0) / g'(z0).\displaystyle\oint\dots=2\pi i \sum_j \mathop{\mathrm{res}}\limits_{z=z_j}\frac{e^{iz}}{1+z^4}=2\pi i\left(\frac{e^{\frac 1{\sqrt2}(-1+i)}}{4(e^{i\pi/4})^3}+\frac{e^{\frac 1{\sqrt2}(-1-i)}}{4(e^{i3\pi/4})^3}ight)=\\=\frac{e^{-1/\sqrt2}\pi i}2\left(e^{i\left(\frac 1{\sqrt2}-\frac{3\pi}4ight)}+e^{i\left(\frac {-1}{\sqrt2}-\frac{\pi}4ight)}ight)\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos x\,dx}{1+x^4}=\mathop{\mathrm{Re}}\lim_{R\to\infty}\int_{-R}^R\frac{e^{iz}\,dz}{1+z^4}=\mathop{\mathrm{Re}}\lim_{R\to\infty}\oint_{C_R}\frac{e^{iz\,dz}}{1+z^4}=\\=\mathop{\mathrm{Re}}\frac{e^{-1/\sqrt2}\pi i}2\left(e^{i\left(\frac 1{\sqrt2}-\frac{3\pi}4ight)}+e^{i\left(\frac {-1}{\sqrt2}-\frac{\pi}4ight)}ight)=\displaystyle=-\frac{e^{-1/\sqrt2}\pi}2\mathop{\mathrm{Im}}\left(e^{i\left(\frac 1{\sqrt2}-\frac{3\pi}4ight)}+e^{i\left(\frac {-1}{\sqrt2}-\frac{\pi}4ight)}ight)=\\=-\frac{e^{-1/\sqrt2}\pi}2\left(\sin\left(\frac1{\sqrt2}-\frac{3\pi}4ight)-\sin\left(\frac1{\sqrt2}+\frac\pi4ight)ight)=\\=\frac{e^{-1/\sqrt2}\pi}{\sqrt2}\left(\sin\left(\frac1{\sqrt2}ight)+\cos\left(\frac1{\sqrt2}ight)ight)

    • Автор:

      norton74
    • 5 лет назад
    • 0

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years