Можно ли выписать в ряд семь некоторых целых чисел так, чтобы сумма любых трёх идущих подряд чисел была отрицательной, а сумма всех – положительной?

Да, можно. Как легко видеть, у ряда 3, -2, -2, 3, -2, -2, 3  в каждой тройке подряд идущих сумма равна -1, а сумма всех чисел равна 1.