Две окружности с центрами O1 и O2 касаются внутренним образом в точке A. Докажите, что A, O1 и O2 лежат на одной прямой

Пусть О1 центр большей окружности, а О2 - меньшей. Окружности касаются в точке А внутренним образом, следовательно О1А - радиус большей окружности, а О2А - радиус меньшей окружности. Допустим, что точки А, О1 и О2 не лежат на одной прямой. Проведем через общую точку А касательную к обеим окружностям. Тогда радиус О1А перпендикулярен этой касательной, в то же время радиус О2А также является перпендикуляром к этой касательной, но к касательной можно провести лишь один единственный перпендикуляр, следовательно радиусы О1А и О2А лежат на одной прямой, являющейся перпендикуляром к касательной. Но, тогда точки А, О1 и О2 не могут не лежать на одной прямой. Приходим к противоречию, значит эти точки лежат на одной прямой.