Мистер Фокс сложил большой куб из одинаковых маленьких кубиков.
Затем он покрасил некоторые грани получившегося большого куба, а затем разобрал его обратно на маленькие кубики.
Число кубиков, у которых нет ни одной покрашенной грани, оказалось равно 1573.
У скольких кубиков есть хоть одна покрашенная грань?

Куб 11х11х11 состоит из 1331 кубика, меньше, чем 1573, не подходит.

Куб 12х12х12 состоит из 1728 кубиков, это наименьший подходящий.

Куб 13х13х13 = 2197 кубиков. Куб 14х14х14 = 2744 кубиков.

Заметим, что внутри куба 14х14х14 содержится куб 12х12х12, и при окраске внешних сторон он полностью окажется неокрашенным.

Но 1728 > 1573, поэтому кубы 14х14х14 и больше можно не рассматривать.

Итак, мы выяснили, что это или куб 12х12х12, или 13х13х13.

Пусть это был куб 12х12х12 = 1728 кубиков, 1728 - 1573 = 155.

Но, если окрасить одну грань куба 12х12х12, то мы окрасим 12х12 = 144 кубика, а если окрасить две любые грани, то больше 155.

Значит, ровно 1573 кубика никак не могут остаться чистыми.

Значит, это был куб 13х13х13 = 2197 кубиков. 2197 - 1573 = 624 кубика.

Одна грань содержит 13х13 = 169 кубиков.

Все 6 граней содержат по квадрату 11х11 кубиков в средней части каждой грани, по 11 кубиков на каждом ребре и 8 угловых.

6*11*11 + 12*11 + 8 = 6*121 + 132 + 8 = 726 + 140 = 866 кубиков.

866 - 624 = 242 = 2*121 = 2*11*11

То есть остались незакрашенными две противоположных грани.

Теперь считаем количество кубиков, у которых есть закрашенные грани.

Это 4 грани большого куба 13х13х13. Они содержат 4*11*11 кубиков в серединах граней, 12*11 кубиков на ребрах и 8 угловых кубиков.

Всего 4*11*11 + 12*11 + 8 = 4*121 + 132 + 8 = 484 + 140 = 624 кубика.

Ответ: 624 кубика покрашены хотя бы с одной стороны.