Решить уравнение: y''+2y'-3y=16xe^-x

Решить уравнение: y''+2y'-3y=16xe^-x
- Предмет:
  Математика
- Автор:
  aspen
- 5 лет назад

Ответы 1

Классификация. Дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами c правой частью.Общее решение дифференциального уравнения будем искать в следующем виде: Уо.н. = Уо.о. + Уч.н.Где Уо.о. - общее решение однородного уравнения, Уч.н. - частное решение.1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: $y''+2y-3y=0$ Воспользуемся методом Эйлера. Пусть $y=e^{kx}$ , в результате замены переменной получаем следующее уравнение $k^2+2k-3=0$ - характеристическое уравнение.Корни характеристического уравнения определяются по теореме Виета. и эти корни будут $\boxed{k_1=1}$ и $\boxed{k_2=-3}$ Запишем общее решение однородного уравнения: $y_{o.o.}=C_1y_1+C_2y_2=C_1e^x+C_2e^{-3x}$ 2) Рассмотрим правую часть данного уравнения: $f(x)=16xe^{-x}$ $P_n(x)=16x;~~~~~ \boxed{n=1};~~~~~~~~~ \boxed{\alpha =-1}$ Сравнивая $\alpha$ с корнями характеристического уравнения и, принимая во внимая, что $n=1$ , частное решение будем искать в виде: Уч.н. = $(Ax+B)e^{-x}$ Найдем первую и вторую производную частного решения $y'=((Ax+B)e^{-x})'=-(Ax+B)e^{-x}+Ae^{-x}\\ y''=e^{-x}(Ax+B)-Ae^{-x}-Ae^{-x}=e^{-x}(Ax+B-2A)$ Найденные производные подставим в исходное уравнение, сократив $e^{-x}$ : $(Ax+B-2A)+2(-Ax-B+A)-3Ax-3B=16x\\ Ax+B-2A-2Ax-2B+2A-3Ax-3B=16x\\ -4Ax-4B=16x$ Приравнивая коэффициенты при степени х $\displaystyle \left \{ {{-4A=16} \atop {-4B=0}} ight. ~~~~\Rightarrow~~~~~ \left \{ {{A=-4} \atop {B=0}} ight.$ Итак, частное решение имеет следующий вид: Уч.н. = $-4xe^{-x}$ Общее решение неоднородного уравнения: Уо.н.= $C_1e^x+C_2e^{-3x}-4xe^{-x}$
- Автор:
  mercedese1mr
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ