Пусть S(n) — сумма цифр в десятичной записи числа n. Найдите S(S(S(S(2018^2017).

Итак, , а S(n) - это сумма цифр числа. Надо четыре раза подряд найти сумму цифр чисел, т.е. S(S(S(S(n)))).Понятно, что невозможно сделать десятичную запись числа .Оценим, сколько  цифр м.б. в таком числе:Итак, Если все цифры в числе будут 9, то их сумма будет не более, чем:Опять считаем суммы цифр. Пусть это будут девятки и их пять штук, то сумма не м.б. больше, чем:Максимальная сумма цифр м.б. только у числа 39 и она равна 12 (у числа 45 сумма всего 9):Наконец, приходим к выводу, что сумма не м.б. больше 9 (у числа 12 сумма цифр равна 3):Из всего выше изложенного стало ясно, что если в нашем числе . четыре раза подряд просуммировать цифры, то результат не будет превышать 9!Вроде бы ничего это нам не дала. Однако вспомним теорему об остатках при делении на 3 (или на 9). Остаток от деления числа на 3 (или на 9) равен остатку от деления на 3 (или на 9) его суммы цифр. Признак делимости на 3 (или на 9) в общем виде.Теперь, зная это, мы можем найти остаток от деления числа на 9, тем самым мы узнаем, какой остаток будет от деления суммы цифр на 9. А это и будет ответ.Представим число 2018 = 2016 + 2, как сумму двойки и числа 2016, которое делится на 9 без остатка. Затем (2016 + 2) возведём в степень 2017 и распишем результат в виде бинома Ньютона. Все слагаемые, кроме последнего , делятся на 9 без остатка (туда входит число 2016).Преобразуем число , чтобы появилась 9, затем разложим по формуле бинома Ньютона:В полученной сумме все слагаемые, кроме последнего, делятся на 9. А последнее слагаемой и есть остаток, и он равен 2.Т.о. искомая сумма цифр равна:Ответ: 2