1) Найти производную и дифференциал третьего порядка функций: а) y = 3x²-4x+5 б) y = ln3x в)

1) Найти производную и дифференциал третьего порядка функций:
а) y = 3x²-4x+5
б) y = ln3x
в) y = Sin(1-2x)

2) Вычислить пределы функций, используя правила Лопиталя:
а) limₓ₋₃(2x-6)/(x³+27)
б) limₓ₋∞(3x²-x-2)/(x²+x-1)
в) limₓ₋₀(sin2x)/(sinx)
г) limₓ₋₀(eˣ-1)/(tgx)
- Предмет:
  Математика
- Автор:
  nicknl8q
- 6 лет назад

Ответы 1

1) Дифференциал функции у = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной х: $dy = f '(x)dx$ или $dy = y' dx$ На практике достаточно найти производную и умножить её на dx. Дифференциал третьего порядка? Находим третью производную и умножаем на dx.а) $y = 3x^2-4x+5$ $y' = 6x -4 \\ \\ y'' = 6 \\ \\ y''' = 0$ dy = 0*dx =0б) $y = ln3x$ $y' = (ln3x)' = \frac{3}{3x} = \frac{1}{x} \\ \\ y'' = - \frac{1}{x^2} \\ \\ y''' = \frac{2}{x^3}$ $dy = \frac{2}{x^3} dx$ в) $y = sin(1-2x)$ $y' = -2cos(1-2x) \\ \\ y'' = -4sin(1-2x) \\ \\ y''' = 8cos(1-2x)$ $dy = 8cos(1-2x)dx$ 2) а) Просто подставляем х=3 и считаем: $\lim_{x \to \inft3} \frac{2x-6}{x^3+27} = \frac{2*3-6}{3^3+27} = \frac{0}{54}=0$ б) Числитель и знаменатель делим на максимальную степень переменной икс, т.е. на x²: $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2-x-2}{x^2+x-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{3- \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2} }{1+ \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} } = \frac{3- \frac{1}{\infty}- \frac{2}{\infty^2} }{1+ \frac{1}{\infty}- \frac{1}{\infty^2} } = \frac{3-0-0}{1+0-0} = 3$ в) Используем формулу синус двойного угла $\lim_{x \to \inft0} \frac{sin2x}{sinx} = \lim_{x \to \inft0} \frac{2sinxcosx}{sinx} = 2 \lim_{x \to \inft0} cosx =2*1 =2$ г) используется сначала первый замечательный предел, а потом второй замечательный предел, вернее следствие из второго замечательного предела, а именно: $\lim_{x \to \inft0} \frac{e^x-1}{x} = 1$ $\lim_{x \to \inft0} \frac{e^x-1}{tgx} = \lim_{x \to \inft0} \frac{e^x-1}{ \frac{sinx}{cosx} } = \lim_{x \to \inft0} cosx \frac{e^x-1}{ sinx} = \\ \\ = \lim_{x \to \inft0} cosx * \lim_{n \to \inft0} \frac{e^x-1}{ sinx} = 1 * \lim_{x \to \inft0} \frac{ \frac{e^x-1}{x} }{ \frac{sinx}{x} } = \\ \\ = \frac{ \lim_{x \to \inft0}\frac{e^x-1}{x} }{ \lim_{x \to \inft0} \frac{sinx}{x} } =\frac{ \lim_{x \to \inft0}\frac{e^x-1}{x} }{ 1} = \lim_{x \to \inft0}\frac{e^x-1}{x} } = 1$
- Автор:
  snowball
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ